有限数学示例

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 - 10 & 8 \\ 11 - 20 & 7 \\ 21 - 30 & 9 \\ 31 - 40 & 6 \end{array}$

解题步骤 1

求每一组的中点 $M$ 。

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解题步骤 1.1

每组的下限为该组的最小值。另外，每组的上限为该组的最大值。

$\begin{array}{c} x & y & Lower Limits & Upper Limits \\ 1 - 10 & 8 & 1 & 10 \\ 11 - 20 & 7 & 11 & 20 \\ 21 - 30 & 9 & 21 & 30 \\ 31 - 40 & 6 & 31 & 40 \end{array}$

解题步骤 1.2

组中点为组下限加组上限除以 $2$ 。

$\begin{array}{c} x & y & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 1 - 10 & 8 & 1 & 10 & \frac{1 + 10}{2} \\ 11 - 20 & 7 & 11 & 20 & \frac{11 + 20}{2} \\ 21 - 30 & 9 & 21 & 30 & \frac{21 + 30}{2} \\ 31 - 40 & 6 & 31 & 40 & \frac{31 + 40}{2} \end{array}$

解题步骤 1.3

化简所有中点列。

$\begin{array}{c} x & y & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 1 - 10 & 8 & 1 & 10 & 5.5 \\ 11 - 20 & 7 & 11 & 20 & 15.5 \\ 21 - 30 & 9 & 21 & 30 & 25.5 \\ 31 - 40 & 6 & 31 & 40 & 35.5 \end{array}$

解题步骤 1.4

在原始表格中增加一列，列出中值。

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) \\ 1 - 10 & 8 & 5.5 \\ 11 - 20 & 7 & 15.5 \\ 21 - 30 & 9 & 25.5 \\ 31 - 40 & 6 & 35.5 \end{array}$

解题步骤 2

计算各组中点的平方 $M^{2}$ 。

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} \\ 1 - 10 & 8 & 5.5 & {5.5}^{2} \\ 11 - 20 & 7 & 15.5 & {15.5}^{2} \\ 21 - 30 & 9 & 25.5 & {25.5}^{2} \\ 31 - 40 & 6 & 35.5 & {35.5}^{2} \end{array}$

解题步骤 3

化简 $M^{2}$ 列。

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} \\ 1 - 10 & 8 & 5.5 & 30.25 \\ 11 - 20 & 7 & 15.5 & 240.25 \\ 21 - 30 & 9 & 25.5 & 650.25 \\ 31 - 40 & 6 & 35.5 & 1260.25 \end{array}$

解题步骤 4

将每一中点的平方乘以其频率 $f$ 。

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 1 - 10 & 8 & 5.5 & 30.25 & 8 \cdot 30.25 \\ 11 - 20 & 7 & 15.5 & 240.25 & 7 \cdot 240.25 \\ 21 - 30 & 9 & 25.5 & 650.25 & 9 \cdot 650.25 \\ 31 - 40 & 6 & 35.5 & 1260.25 & 6 \cdot 1260.25 \end{array}$

解题步骤 5

化简 $f \cdot M^{2}$ 列。

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 1 - 10 & 8 & 5.5 & 30.25 & 242 \\ 11 - 20 & 7 & 15.5 & 240.25 & 1681.75 \\ 21 - 30 & 9 & 25.5 & 650.25 & 5852.25 \\ 31 - 40 & 6 & 35.5 & 1260.25 & 7561.5 \end{array}$

解题步骤 6

求所有频率的和。在本例中，所有频率的和为 $n = 8, 7, 9, 6 = 30$ 。

$\sum_{}^{} f = n = 30$

解题步骤 7

求 $f \cdot M^{2}$ 列的和。在本例中，即 $242 + 1681.75 + 5852.25 + 7561.5 = 15337.5$ 。

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 15337.5$

解题步骤 8

求平均值 $μ$ 。

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解题步骤 8.1

求每一组的中点 $M$ 。

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) \\ 1 - 10 & 8 & 5.5 \\ 11 - 20 & 7 & 15.5 \\ 21 - 30 & 9 & 25.5 \\ 31 - 40 & 6 & 35.5 \end{array}$

解题步骤 8.2

将每组频率乘以组中值。

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 1 - 10 & 8 & 5.5 & 8 \cdot 5.5 \\ 11 - 20 & 7 & 15.5 & 7 \cdot 15.5 \\ 21 - 30 & 9 & 25.5 & 9 \cdot 25.5 \\ 31 - 40 & 6 & 35.5 & 6 \cdot 35.5 \end{array}$

解题步骤 8.3

化简 $f \cdot M$ 列。

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 1 - 10 & 8 & 5.5 & 44 \\ 11 - 20 & 7 & 15.5 & 108.5 \\ 21 - 30 & 9 & 25.5 & 229.5 \\ 31 - 40 & 6 & 35.5 & 213 \end{array}$

解题步骤 8.4

将 $f \cdot M$ 列中的值相加。

$44 + 108.5 + 229.5 + 213 = 595$

解题步骤 8.5

将频率列中的值相加。

$n = 8 + 7 + 9 + 6 = 30$

解题步骤 8.6

均值 (mu) 为 $f \cdot M$ 的和除以 $n$ ，即为频率的和。

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

解题步骤 8.7

平均值是中点和频率的乘积之和除以频率总和。

$μ = \frac{595}{30}$

解题步骤 8.8

化简 $μ = \frac{595}{30}$ 的右边。

$19.8\overline{3}$

解题步骤 9

标准差方程为 $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ 。

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

解题步骤 10

将计算值代入 $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ 。

$S^{2} = \frac{15337.5 - 30 {(19.8\overline{3})}^{2}}{30 - 1}$

解题步骤 11

化简 $S^{2} = \frac{15337.5 - 30 {(19.8\overline{3})}^{2}}{30 - 1}$ 的右边以得出方差 $S^{2} = 121.95402298$ 。

$121.95402298$

解题步骤 12

标准差是方差的平方根 $121.95402298$ 。在本例中，标准差为 $11.04327953$ 。

$11.04327953$

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